Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach

Qualche giorno fa ho ricevuto una mail che aveva come oggetto la scritta "Senza Oggetto"; non credo che chi me l'ha mandata lo abbia fatto di proposito (e questo non perchè non creda nelle sue facolta intellettive, ma perchè generalmente si limita ad imitare il mio di oggetto :-P), probabilmente il sistema prevede che nel caso in cui il campo oggetto venga lasciato vuoto la scritta "senza oggetto" venga automaticamente inserita. A questo punto mi sono chiesto: la lettera ha un oggetto o no? Questa cosa mi ha fatto venire il mente un vecchio libro di Douglas Hofstadter: "Gödel, Escher, Bach". Questo libro è stato uno dei più interessanti che abbia mai letto; ha contribuito non poco alla mia formazione culturale e mi ha spinto a guardare in modo diverso la realtà che mi circonda. Ricordo che mi fu consigliato da un amico, molto più grande di me, che faceva il ricercatore in Fisica (ci siamo persi di vista ormai, dovrebbe essere all'estero con la moglie). Il libro, scoprii poi, aveva vinto nel 1980 un Premio Pulitzer, e il suo autore Douglas Hofstadter, laureato in matematica e con un Ph. D. in fisica ora insegnante al Mit, possiede uno stile chiaro e divertente (egli stesso, parlando fluentemente l'italiano, ha supervisionato la traduzione italiana).

Il libro è lungo e complesso: nella struttura, nei temi trattati, nelle riflessioni, ma non nella lettura; eppure dare un'idea del tema del libro è una cosa molto difficile. Ad una prima lettura l'autore cerca di mettere in relazione tre campi del sapere umano non comunemente così dipendenti tra loro: arte, logica matematica e musica; il lettore già familiare con almeno uno dei tre campi viene coinvolto e scopre un nuovo linguaggio per descrivere lo strano mondo dei disegni di M. Escher, i paradossi autoreferenziali della logica gödeliana e le sublimi composizioni di J. S. Bach; d'altro canto anche il lettore meno esperto rimane piacevolmente sorpreso da come tre mondi così distinti possano avere dei legami così forti.

Ad un livello più profondo il saggio è una discussione su come l'auto-referenzialità e le regole formali permettano ai sistemi di acquistare significato, malgrado siano formati da elementi essi stessi privi di significato. Si parla quindi di cosa significa comunicare, come la conoscenza può essere rappresentata e memorizzata e perfino che cosa significa avere significato. Le teorie di Gödel, i lavori di Escher e le musiche di Bach sono usate dappertutto per contribuire ad illustrare i concetti e spiegare le implicazioni del tema centrale. Mi rendo conto che detta così la cosa non appare di semplice approccio, forse un esempio tratto dal libro renderà meglio l'idea di auto-referenzialità e di sistema:

"Questa frase è falsa"

Dicendo Questa frase essa si rivolge a se stessa. E', in poche parole, una frase che ha come oggetto il suo stesso enunciato. Bene. Se qualcuno vi dicesse: Il mare è giallo, direste che la frase è vera o sbagliata? E se, allo stesso modo, qualcuno dicesse: Il pianeta terra è di forma sferica, direste che è vero o sbagliato? Le risposte sono ovviamente palesi, ma servono per farci capire la singolarità della frase di prima. Ebbene: Questa frase è falsa, è vera o falsa? Se la consideriamo vera allora dobbiamo conseguirne che ciò che enuncia è vero, ma ciò che enuncia è che essa stessa è falsa. Allo stesso modo se la consideriamo falsa non possiamo far altro che constatare che questo è proprio ciò che essa dice di se stessa, cioè che è falsa, e quindi essa è vera. Gira la testa, vero? Allora qual'è la soluzione? La soluzione è che Questa frase è falsa non è ne vera ne falsa, è soltanto indecidibile per noi darle un valore assoluto di verità o falsità. Nel linguaggio ordinario quindi esiste una semplice frase che sfugge alla netta contrapposizione Vero/Falso, una frase che in un solo istante distrugge tutte le ambizioni di chi (nei primi del 900, non è una questione dei nostri giorni) pensava di poter creare dei sistemi chiusi e coerenti. Sarebbe troppo complicato spiegare o definire cosa queste ultime parole significano... è per noi importante in questa sede capire che non c'è un sistema (in questo caso "il linguaggio") assolutamente perfetto, logicamente coerente. Ma se il sapere è unico, se cioè tutta la conoscenza umana non è separata, divisa, dovremmo vedere gli effetti di ciò che sopra si è esposto anche in altri settori del sapere, e non soltanto nel linguaggio.

Questo quadro di Escher intitolato: "La galleria di stampe" è il corrispettivo pittorico della frase Questa frase è falsa ( che da adesso chiameremo: La frase di Epimenide, dal nome di colui che per primo la formulò). Se infatti analizzate questa magnifica litografia e ne studiate la raffigurazione vi accorgerete che il tizio sulla sinistra è un visitatore di una galleria d'arte che sta osservando un quadro che, con un notevole effetto di distorsione, diventa la stessa galleria nella quale il tizio si trova! Il primo tratto in comune quindi con la frase di Epimenide è proprio quello di ripiegarsi su se stessa, di essere autoreferenziale. Il secondo tratto è assai più interessante. Se infatti osservate il centro del quadro vi accorgerete di una singolare macchia bianca dove l'autore ha posizionato la sua firma. Perchè Escher ha firmato il suo quadro in un punto così particolare? Semplice... perchè quel punto sarebbe dovuto rimanere indisegnato comunque, sarebbe dovuto rimanere bianco. Quell'angolo infatti è letteralmente indisegnabile, sempre che si voglia mantenere una coerenza grafica nel quadro. Se lo disegnassimo altro non risulterebbe che un mal riuscito punto di raccordo tra la cornice, il quadro ed il cornicione del portico della galleria, altro non risulterebbe che un incoerente ed irrealistico contrasto fisico. Se non ci credete, provateci voi... e poi fatemi sapere... Insomma, anche in questo caso, un caso non più linguistico ma raffigurativo, esiste un elemento dell'insieme che manda all'aria i progetti di coloro che vorrebbero che un sistema autoreferenziale sia coerente. Abbiamo visto come questo giochetto autoreferenziale, nostro filo conduttore, ci ha portato dalle arti linguistiche a quelle raffigurative. Ma lo strano caso di somiglianze tra settori del sapere finisce qui? Ovviamente no.
In matematica, Kurt Godel segnò col suo teorema di incompletezza quello che può a tutti gli effetti essere definito l'equivalente matematico della frase di Epimenide. Il meccanismo è sempre lo stesso: Autoreferenzialità e presunta coerenza. Sarebbe molto complicato spiegare di più. Basti sapere che il suo teorema stabilì, lo dico in termini più umani che con un insieme di formule, ma allo stesso modo (per chi è a digiuno di logica) di difficile comprensione, questo:

Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell'aritmetica contengono proposizioni indecidibili

la stessa cosa accade in musica. Bach infatti, nelle sue magistrali fughe a più voci, nient'altro ha fatto che riprodurre la struttura di cui sopra abbiamo avuto molti esempi. L'effetto? Beh non ho conoscenze musicali così approfondite da spiegarvelo con chiarezza, ma potete chiedere ad un qualunque amico/a musicisat che ne pensa dell'armonia in Bach: vi dirà che era ricercatissima e seguiva dei particolarissimi (e rigidi) parametri matematici.

Confusi? Se state ancora leggendo, l'argomento vi deve avere quantomeno incuriosito. Quindi andiamo avanti; il libro è strutturato in modo insolito: come Calvino nel suo "Le città invisibili", prende in presito le figure di Marco Polo e del Khan per far da cornice alla descrizione delle 50 città, così Hofstadter usa i personaggi di Achille e della "signorina tartaruga" tratti da un famoso racconto di Carroll (il papà di "Alice nel paese delle meraviglie"): "Cosa disse la tartaruga ad Achille". il libro è strutturato come un contrappunto tra Dialoghi (in cui appaiono Achille, la tartaruga e altri) e Capitoli. Lo scopo di questa struttura è di permettere di presentare i concetti nuovi due volte. Quasi ogni concetto nuovo viene prima presentato metaforicamente in un Dialogo, con una serie di immagini concrete, visive; queste servono poi, durante la lettura del Capitolo successivo, come sfondo intuitivo per una presentazione più seria e astratta dello stesso concetto. L'autore ha collegato ogni Dialogo a forme musicali, modellandolo, in un modo o nell'altro, su diversi pezzi di Bach; ha saputo "intrecciare in un' Eterna Ghirlanda Brillante i tre fili del discorso sviluppato da Godel, Escher, Bach"; questi ultimi sono stati considerati come "ombre proiettate in diverse direzioni da una qualche solida essenza centrale" e si è cercato di ricostruire l'oggetto centrale attraverso la stesura del libro.

Un'ultima avvertenza, se pensate che il libro sia dedicato a matematici in erba o a convinti tecnofili, vi sbagliate di grosso; la lettura di questo libro è anzi vivamente consigliata a tutti coloro abbiano una formazione umanistica e vogliano curiosare nel mondo della logica per poi spaziare. Qui trovate anche una bella intervista all'autore: come nel libro si va dalla programmazione dei computer al significato della vita!